Logica de proposiciones

 

Definicion:

Es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.

Ejemplo:

Considere lo siguiente:

-Mañana es miércoles o mañana es jueves(p Ú q).

-Mañana no es jueves(Øq ).

-Por lo tanto, mañana es miércoles(Øq Þ p).

Es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones «mañana es miércoles» y «mañana es jueves», porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecer válido. Por ejemplo:

-Está soleado o está nublado(p Ú q).

-No está nublado(Øq ).

-Por lo tanto, está soleado(Øq Þ p).

En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones «o» y «no». Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podría ser que los argumentos dejaran de ser válidos. Por ejemplo:

-Ni está soleado ni está nublado(¯p ¯q).

-No está nublado(Øq).

-Por lo tanto, está soleado(Øq Þ p).

Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas. La lógica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estas expresiones, llamadas conectivas lógicas. En cuanto a las expresiones como "está nublado" o "mañana es jueves", lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las reemplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc. Así, los dos primeros argumentos de esta sección podrían reescribirse así:

-p o q.

-No q.

-Por lo tanto, p.

Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, puede reescribirse así:

-Ni p ni q

-No q

 

 

Tabla de conexiones logicase las Conexiones L

Tabla de las conexiones logicas:





 

 

 

Tabla de la verdad:

 

La tabla de verdad de una proposición compuesta “P” enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p1, p2, . . . , pn.

Por ejemplo, si P es una proposición compuesta por las proposiciones simples p1, p2 y p3, entonces la tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad.

 

 

Conexiones entre proposiciones:

 

Observe las distintas formas de conectar proposiciones entre sí. Prestaremos especial atención a las tablas de verdad de las proposiciones compuestas que pueden formarse utilizando las distintas conexiones.

                                                                             Conjunciones

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ^ q. Esta proposición será verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean.

Observe que de la definición dada se sigue directamente que si p y q son, ambas, verdaderas entonces p ^ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ^ q es falsa. Por lo tanto su tabla de verdad vendrá dada por:

Observe también que el razonamiento puede hacerse a la inversa, es decir si p ^ q es verdad, entonces p y q son, ambas, verdad y que si p ^ q es falsa, entonces una de las dos ha de ser falsa.

 

 

 Disyunción

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p o q” y la notaremos p Ú q. Esta proposición sera verdadera si al menos una de las dos p o q lo es.

De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p o q, es verdad entonces p Ú q es verdad y que p Ú q será falsa, únicamente si ambas lo son. Su tabla de verdad será, por tanto,

Al igual que en la conjunción, podemos razonar en sentido inverso. En efecto, si p Ú q es verdad, entonces una de las dos, al menos, ha de ser verdad y si p Ú q es falsa, entonces ambas han de ser falsas.

La palabra “o” se usa en el lenguaje ordinario de dos formas distintas. A veces se utiliza en el sentido de “p o q, ´o ambos”, es decir, al menos una de las dos alternativas ocurre y, a veces es usada en el sentido de “p o q, pero no ambos” es decir, ocurre exactamente una de las dos alternativas.

Por ejemplo, la proposición “El ira a Madrid o a Bilbao” usa “o” con el ´ultimo sentido. A este tipo de disyunción la llamaremos disyunción exclusiva.

 

 Disyunción Exclusiva

 

Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción exclusiva de ambas a la proposición compuesta “p o q pero no ambos” y la notaremos p q. Esta proposición será verdadera si una u otra, pero no ambas son verdaderas.

Según esta definición una disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q será verdadera cuando tengan distintos valores de verdad y falsa cuando sus valores de verdad sean iguales. Su tabla de verdad es, por tanto,

 Negación

Dada una proposición cualquiera, p, llamaremos “negación de p” a la proposición “no p” y la notaremos ¬p. Sera verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera.

De esta forma, el valor verdadero de la negación de cualquier proposición es siempre opuesto al valor verdadero de la afirmación original.

 

Tautologias y contradicciones:

 

 

Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn

P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, . . . , pn.

P es una Contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, . . . , pn.

En adelante, notaremos por “C” a una contradicción y por “T” a una tautología.

Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente, Contingencia.

Ejemplo: Probar que la proposición compuesta p Ú ¬p es una tautología y la p Ù ¬p es una contradicción.

  Observe que p Ú ¬p es verdad, independientemente de quienes sean las variables de enunciado, p y ¬p y lo mismo ocurre con la falsedad de p Ù ¬p.

 

 

Ejemplos:

 

 

            Estudiar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:

• p1: El Pentium es un microprocesador.
  
  
  p2: Es falso que el Pentium sea un microprocesador.
  
  
  p3: El Pentium no es un microprocesador.
  
  
  p4: 2 + 2 = 5
  
  
  p5: Es falso que 2 + 2 = 5
  
  
  p6: 2 + 2 = 4
  
  
  Solución
  p2 y p3 son, cada una, la negación de p1.
  
  
  p5 y p6 son, cada una, la negación de p4.
  
  
  Pues bien, de acuerdo con la tabla de verdad para la negación, tendremos:
  p1 es verdad, luego p2 y p3 son falsas.
  
  
  p4 es falsa, luego p5 y p6 son verdad.

          Construir la tabla de verdad de la proposición ¬(p ^ ¬q).

• Solución